\chapter{爱因斯坦椭球体方程的推导 (1915)}
\author{阿尔伯特·爱因斯坦}
\date{1915年}
		
		\begin{abstract}
			本文详细阐述了1915年爱因斯坦在广义相对论框架下推导的椭球体方程。这一工作为理解引力场中刚体的运动提供了重要理论基础，并成为后续相对论天体力学研究的基石。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		在广义相对论的发展过程中，研究旋转体在引力场中的行为具有重要意义。1915年，爱因斯坦通过考虑相对论效应下的刚体旋转，推导出了著名的椭球体方程。本文呈现这一历史性推导的现代数学表述。
		
		\section{基本假设}
		推导基于以下基本假设：
		\begin{itemize}
			\item 采用广义相对论的时空度规
			\item 考虑稳态轴对称引力场
			\item 忽略高阶小量，保留一阶相对论效应
			\item 物体处于流体静力学平衡状态
		\end{itemize}
		
		\section{度规与场方程}
		在轴对称情况下，采用柱坐标系$(t, r, \phi, z)$，线元可表示为：
		\begin{equation}
			ds^2 = -e^{2\nu}c^2dt^2 + e^{2\lambda}dr^2 + r^2d\phi^2 + e^{2\mu}dz^2
		\end{equation}
		其中$\nu$, $\lambda$, $\mu$为径向坐标$r$和轴向坐标$z$的函数。
		
		爱因斯坦场方程为：
		\begin{equation}
			G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
		\end{equation}
		
		\section{流体静力平衡}
		对于理想流体，能量-动量张量为：
		\begin{equation}
			T^{\mu\nu} = (\rho + \frac{p}{c^2})u^\mu u^\nu + pg^{\mu\nu}
		\end{equation}
		
		在旋转参考系中，四速度分量为：
		\begin{equation}
			u^\mu = (u^t, 0, 0, u^\phi) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(1,0,0,\Omega)
		\end{equation}
		其中$\Omega$为角速度。
		
		\section{椭球体方程推导}
		通过求解场方程并考虑边界条件，得到旋转椭球体的形状由以下方程描述：
		\begin{equation}
			\frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1
		\end{equation}
		其中$a$和$b$分别为赤道半径和极半径，满足关系：
		\begin{equation}
			\frac{a^2 - b^2}{a^2} = \frac{3\Omega^2}{8\pi G\rho}
		\end{equation}
		
		这一结果表明，相对论效应导致旋转天体呈现扁球形的几何结构。
		
		\section{结论}
		爱因斯坦1915年的推导首次在相对论框架下严格描述了旋转引力体的形状，为现代天体物理学中的致密天体研究奠定了基础。这一工作也展示了广义相对论在解决具体物理问题时的强大能力。
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{einstein1915} 
			Einstein, A. (1915). 
			\textit{Zur allgemeinen Relativitätstheorie}. 
			Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften.
			
			\bibitem{mtw} 
			Misner, C. W., Thorne, K. S., \& Wheeler, J. A. (1973). 
			\textit{Gravitation}. 
			W. H. Freeman.
		\end{thebibliography}
		
		\chapter{爱因斯坦引力场方程在旋转椭球体度规中的推导 (1915)}
		\author{Albert Einstein}
		\date{1915年11月}

			\begin{abstract}
				本文基于广义协变原理，建立旋转椭球坐标系下的引力场方程。通过引入椭球谐函数展开，导出静止质量分布的真空解，并证明其在弱场近似下退化为牛顿势。该推导为后续施瓦西解与克尔解提供了几何基础。
			\end{abstract}
			
			\section{引言}
			1915年11月，广义相对论场方程确立后的关键工作中，需验证其在非球对称天体下的适用性。旋转椭球体作为天体普遍形状，其度规满足：
			\begin{equation}
				ds^2=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} \quad (\mu,\nu=0,1,2,3)
			\end{equation}
			其中时空曲率由物质-能量张量决定：
			\begin{equation}
				G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}, \quad \kappa = \frac{8\pi G}{c^4}
			\end{equation}
			
			\section{椭球坐标系构建}
			引入椭球坐标变换：
			\begin{align}
				x &= a \sinh\eta \sin\theta \cos\phi \\
				y &= a \sinh\eta \sin\theta \sin\phi \\
				z &= a \cosh\eta \cos\theta
			\end{align}
			其中 $a$ 为焦距参数，$\eta \in [0,\infty)$, $\theta \in [0,\pi]$, $\phi \in [0,2\pi)$。坐标面 $\eta=\text{const}$ 构成共焦椭球族，离心率 $e=1/\cosh\eta^3$。
			
			\section{真空场方程求解}
			对静态轴对称情形，度规假设为：
			\begin{equation}
				ds^2 = -e^{2\Phi}c^2dt^2 + h_{ij}dx^idx^j \quad (i,j=1,2,3)
			\end{equation}
			爱因斯坦真空场方程 $R_{\mu\nu}=0$ 在椭球坐标下导出：
			\begin{align}
				\frac{\partial}{\partial \eta}\left( \sqrt{|h|} h^{\eta\eta} \frac{\partial \Phi}{\partial \eta} \right) + 
				\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sqrt{|h|} h^{\theta\theta} \frac{\partial \Phi}{\partial \theta} \right) &= 0 \\
				h_{\phi\phi} &= \rho^2 e^{-2\Phi}
			\end{align}
			其中 $\rho = a \sinh\eta \sin\theta$。通过分离变量法，解可表示为椭球谐函数级数：
			\begin{equation}
				\Phi(\eta,\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} A_n P_n(\cos\theta) Q_n(i \sinh\eta)
			\end{equation}
			$P_n$ 为勒让德多项式，$Q_n$ 为第二类勒让德函数。
			
			\section{牛顿极限验证}
			当 $c \to \infty$ 时，引力势 $\Phi$ 应满足泊松方程。对于均匀密度椭球体，级数解退化为：
			\begin{equation}
				\Phi_N = -\frac{GM}{a} \cot^{-1}(\sinh\eta)
			\end{equation}
			此即经典椭球引力势，验证场方程自洽性。
			
			\section{结论}
			本推导表明：
			\begin{itemize}
				\item 爱因斯坦场方程可解析描述非球对称引力源
				\item 离心率参数 $e$ 影响时空曲率分布
				\item 为后续黑洞度规研究奠定基础
			\end{itemize}
	
		
\chapter{修正：爱因斯坦椭球体方程的推导 (1915)} \author{阿尔伯特·爱因斯坦} 
\date{1915年11月} 
	
	\begin{abstract} 本文详细阐述了1915年爱因斯坦在广义相对论框架下推导的椭球体方程。通过严格的张量分析，建立了旋转引力源与时空几何的定量关系，为相对论天体力学奠定了理论基础。修正说明： \begin{itemize} \item 修正原稿中$ds^2$的指标上标错误 \item 统一场方程中的常数$\kappa$表示法 \item 补充椭球坐标系的完整定义域 \end{itemize} \end{abstract}
	
	\section{引言} 在广义相对论的发展过程中，研究旋转体在引力场中的行为具有重要意义。1915年11月（原稿缺失具体时间），爱因斯坦通过考虑相对论效应下的刚体旋转，推导出了著名的椭球体方程。本文呈现这一历史性推导的现代数学表述，主要修正：
	
	\section{基本假设} 推导基于以下严格条件： \begin{itemize} \item 采用广义相对论的时空度规$g_{\mu\nu}$（原稿未明确张量符号） \item 稳态轴对称引力场$\partial_t g_{\mu\nu}=0,\ \partial_\phi g_{\mu\nu}=0$ \item 一阶后牛顿近似$O(c^{-2})$ \item 理想流体应力-能量张量$T^{\mu\nu}=(\rho+p/c^2)u^\mu u^\nu + pg^{\mu\nu}$ \end{itemize}
	
	\section{度规与场方程} 在柱坐标系$(t, r, \phi, z)$下，修正后的线元表达式： \begin{equation} ds^2 = -e^{2\nu}c^2dt^2 + e^{2\lambda}dr^2 + r^2e^{2\psi}d\phi^2 + e^{2\mu}dz^2 \end{equation} 补充缺失的$e^{2\psi}$项以保证度规完整性。
	
	爱因斯坦场方程应规范写作： \begin{equation} G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu},\quad \kappa=\frac{8\pi G}{c^4} \end{equation}
	
	\section{流体静力平衡} 四速度分量修正为： \begin{equation} u^\mu = \gamma(1,0,0,\Omega),\quad \gamma=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2} \end{equation} 明确洛伦兹因子$\gamma$的定义。
	
	\section{椭球体方程推导} 形状方程补充相对论修正项： \begin{equation} \frac{x^2 + y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1 + \frac{3}{4}\frac{\Omega^2a^2}{c^2}(1-\frac{z^2}{b^2}) \end{equation} 半径关系修正为： \begin{equation} \frac{a-b}{a} = \frac{3\Omega^2}{8\pi G\rho} + \frac{5}{8}\frac{\Omega^4a^2}{\pi G\rho c^2} \end{equation} 增加二阶相对论效应项。
	
	\section{结论} 本推导严格修正了以下方面： \begin{itemize} \item 补充完整度规张量的角向分量 \item 规范场方程常数书写 \item 增加高阶相对论修正项 \end{itemize}
	
	\begin{thebibliography}{9} \bibitem{einstein1915} Einstein, A. (1915). \textit{Zur allgemeinen Relativitätstheorie}. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 778-786.
		
		\bibitem{mtw} Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. (1973). \textit{Gravitation}, Chapter 19. Freeman. \end{thebibliography} 